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數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識,數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式,實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的,差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。數(shù)學(xué)的四大思想分別是:函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合;“數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識之中,經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果”,“是對數(shù)學(xué)事實(shí)與理論的本質(zhì)認(rèn)識”。數(shù)學(xué)方法是指人們在數(shù)學(xué)活動中為達(dá)到預(yù)期目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。方法和思想在一定范圍內(nèi)有通用性(如:“消元”既是方法也是思想),但思想還具特有的體系性。方法要在實(shí)踐中不斷完善、創(chuàng)新,而思想則是熠熠生輝的。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程,當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程度時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍,從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來的一座宏偉大廈,那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段,而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓,是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一,是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在驅(qū)動力。因而加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想、方法的教學(xué)既是教學(xué)本身的要求,也是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的要求。

初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法的內(nèi)容。如字母表示數(shù)的思想,數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)思想、方程思想、分類思想、化歸思想等大量數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)方法有觀察法、實(shí)驗(yàn)法、類比法、一般化方法和抽象化方法;解決具體數(shù)學(xué)問題的方法有代入法、消元法、降次法、配方法、待定系數(shù)法、分析法、綜合法、坐標(biāo)法、變換法等。數(shù)學(xué)知識、思想、方法、技能密不可分,相互聯(lián)系,相互依存,協(xié)同發(fā)展,只要在課堂教學(xué)法中認(rèn)真把握,把它們?nèi)谟谝惑w、就能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中潛移默化,不知不覺在獲得這些思想方法。

那么,數(shù)學(xué)教學(xué)中如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)?筆者以為可著重從以下幾個(gè)方面入手。

1在備課中,有意識地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法

教師要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué),首先要有意識地從教學(xué)目的的確定、教學(xué)過程的實(shí)施,教學(xué)效果的落實(shí)等各個(gè)方面來體現(xiàn),使每節(jié)課的教學(xué)、教育目的獲得和諧的統(tǒng)一。通過對教材完整的分析和研究,理清和把握教材的體系和脈絡(luò),統(tǒng)攬教材全局,高屋建瓴。然后建立各類概念、知識點(diǎn)或知識單元之間的界面關(guān)系,歸納和揭示其特殊性質(zhì)和內(nèi)在的一般規(guī)律。因而,在備課時(shí)就必須把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)從鉆研教材中加以挖掘。

2在掌握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)中,有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn),往往就是需要有意識地運(yùn)用或揭示數(shù)學(xué)思想方法之處。數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn),往往與數(shù)學(xué)思想方法的更新交替、綜合運(yùn)用、跳躍性較大有關(guān)。因此,教師要掌握重點(diǎn),突破難點(diǎn),更要有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法組織教學(xué)。

3在知識發(fā)生過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

3.1不簡單下定義

數(shù)學(xué)概念既是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ),又是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果。所以概念教學(xué)不應(yīng)簡單給出定義,應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想。比如負(fù)數(shù)概念的教學(xué),七年級上冊借助于溫度計(jì)給出描述性定義,學(xué)生對負(fù)數(shù)概念往往難以透徹理解。若設(shè)計(jì)一個(gè)揭示概念與新問題間矛盾的實(shí)例,使學(xué)生感到“負(fù)數(shù)”產(chǎn)生的合理性和必要性,領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)符號化思想的價(jià)值,則無疑有益于激發(fā)學(xué)生探究概念的興趣,從而更深刻、全面的理解概念。

3.2定理公式教學(xué)中不過早給結(jié)論

數(shù)學(xué)定理、公式、法則等結(jié)論都是具體的判斷,而判斷則可視為壓縮了的知識鏈。教學(xué)中要恰當(dāng)?shù)乩L這一知識鏈,引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程,弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系,探討它與其他知識的關(guān)系,領(lǐng)悟引導(dǎo)思維活動的數(shù)學(xué)思想。例如有理數(shù)加法法則的教學(xué),我們通過設(shè)計(jì)若干問題,有意識地滲透或再現(xiàn)一些重要的數(shù)學(xué)思想方法。在討論兩個(gè)有理數(shù)相加有多少種可能的情形中,滲透分類思想;在尋找各種具體的有理數(shù)運(yùn)算的結(jié)果的規(guī)律中,滲透歸納、抽象概括思想;在“兩個(gè)相反數(shù)相加得零”寫在“異號兩個(gè)數(shù)相加”的法則里,滲透特殊與一般思想。

4在思維教學(xué)過程中揭示數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須充分暴露思維過程,讓學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐活動,其中隱含的數(shù)學(xué)思想,才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),下面以“多邊形內(nèi)角和定理”的課堂教學(xué)為例,簡要說明。

教學(xué)目標(biāo):增強(qiáng)運(yùn)用化歸思想處理多邊形問題的一般策略;掌握運(yùn)用類比、歸納、猜想思想指導(dǎo)思維,發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和定理的結(jié)論;學(xué)會用化歸思想指導(dǎo)探索論證途徑,掌握化歸方法;加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識。

教學(xué)過程:(1)創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)探索欲望,蘊(yùn)涵類比化歸思想。教師:三角形和四邊形的內(nèi)角和分別為多少?四邊形內(nèi)角和是如何探求的?(轉(zhuǎn)化為三角形)那么,五邊形內(nèi)角和你會探求嗎?六邊形、七邊形……n邊形內(nèi)角和又是多少呢?(2)鼓勵大膽猜想,指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方法,滲透類比、歸納、猜想思想。教師:從四邊形內(nèi)角和的探求方法,能給你什么啟發(fā)呢?五邊形如何化歸為三角形?數(shù)目是多少?六邊形……n邊形呢?你能否用列表的方式給出多邊形內(nèi)角和與它們邊數(shù)、化歸為三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系?從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?猜一猜n邊形內(nèi)角和有何結(jié)論?(3)暴露思維過程、探索論證方法,揭示化歸思想、分類方法。教師:我們?nèi)绾悟?yàn)證或推斷上面猜想的結(jié)論呢?既然多邊形內(nèi)角和可化歸為三角形來處理,那么化歸方法是否唯一的呢?一點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系怎樣?(分類思想指導(dǎo)化歸方法的探索)哪一種對獲取證明最簡潔?(至此,教材中在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn)O……的思維過程得以充分自然地暴露)(4)反思探索過程,優(yōu)化思維方法,激活化歸思想。教師:從上面的探索過程中,我們發(fā)現(xiàn)化歸思想有很大作用,但是,又是什么啟發(fā)我們用這種思想指導(dǎo)解決問題呢?原來,我們是選擇考察幾個(gè)具體的多邊形,如四邊形、五邊形等,發(fā)現(xiàn)特殊情形下的解決方法,再把它運(yùn)用到一種特殊化思想,它對提供解題方法有重要作用。

讓學(xué)生親自參加與探索定理的結(jié)論及證明過程,大大激發(fā)了學(xué)生的求知興趣,同時(shí),他們也體驗(yàn)到“創(chuàng)造發(fā)明”的愉悅,數(shù)學(xué)思想在這一過程中得到了有效的發(fā)展。

5在問題解決過程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法

許多教師往產(chǎn)生這樣的困惑:題目講得不少,但學(xué)生總是停留在模仿型解題的水平上,只要條件稍稍一變則不知所措,學(xué)生一直不能形成較強(qiáng)解決問題的能力。更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就在于教師在教學(xué)中僅僅是就題論題,殊不知授之以“漁”比授之以“魚”更為重要。因此,在數(shù)學(xué)問題探索的教學(xué)中重要的是讓學(xué)生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問題探索中的數(shù)學(xué)思想方法。使學(xué)生從中掌握關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法方面的知識,并使這種“知識”消化吸收成具有“個(gè)性”的數(shù)學(xué)思想。逐步形成用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)思維活動,這樣在遇到同類問題時(shí)才能胸有成竹,從容對待。如:直線y=2x―1與y=m―x的交點(diǎn)在第三象限,求m的取值范圍。方法1:用m表示交點(diǎn)坐標(biāo),然后用不等式求解;方法2:利用數(shù)形結(jié)合的思想在坐標(biāo)系中畫出圖象,根據(jù)圖象作答。

圖1

顯然上述的問題解決過程中,學(xué)生通過比較不同的方法,體會到了數(shù)學(xué)思想在解題中的重要作用,激發(fā)學(xué)生的求知興趣,從而加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識。

6在知識總結(jié)過程中內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識點(diǎn)中,以內(nèi)隱的方式溶于數(shù)學(xué)知識體系。要使學(xué)生把這種思想內(nèi)化成自己的觀點(diǎn),應(yīng)用它去解決問題,就要把各種知識所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想適時(shí)作出歸納概括。概括數(shù)學(xué)思想方法要納入教學(xué)計(jì)劃,應(yīng)有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的提煉概括過程,尤其是在章節(jié)結(jié)束或單元復(fù)習(xí)中對知識復(fù)習(xí)的同時(shí),將統(tǒng)攝知識的數(shù)學(xué)思想方法概括出來,可以加緊學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識,也使其對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解,有利于活化所學(xué)知識,形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。

概括數(shù)學(xué)思想一般可分兩步進(jìn)行:一是揭示數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容、規(guī)律,即將數(shù)學(xué)對象共同具有屬性或關(guān)系抽取出來;二是明確數(shù)學(xué)思想方法與知識的聯(lián)系,即將抽取出來的共性推廣到同類的全部對象上去,從而實(shí)現(xiàn)從個(gè)別性認(rèn)識上升為一般性認(rèn)識。比如,解方程(x-2)2+(x-2)-2=0,可以直接求解,也可用換元法求解。由此概括出換元法可以將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為簡單方程,從而認(rèn)識到化歸思想是對換元法的高度概括,還可進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂,它是對數(shù)學(xué)知識的高度概括。

由于同一數(shù)學(xué)知識可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法,而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識點(diǎn)里,所以通過課堂小結(jié)、單元總結(jié)或總復(fù)習(xí),甚至是某個(gè)概念、定理公式、問題數(shù)學(xué)都可以在縱橫兩方面概括內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法。

誠然,要使學(xué)生真正具備有個(gè)性化的數(shù)學(xué)思想方法,并不是通過幾堂課就能達(dá)到,但是只要我們在教學(xué)中大膽實(shí)踐,持之以恒,寓數(shù)學(xué)思想方法于平時(shí)的教學(xué)中,學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識就一定會日趨成熟。