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1.連續(xù)問題極大地推動了有限元的發(fā)展，目前，成熟的構(gòu)造單元的方法有傳統(tǒng)的位移法有限元[1]、應(yīng)力雜交元[4]、雜交混合元[5]、擬協(xié)調(diào)元[2][3]、廣義協(xié)調(diào)元[6]、雙參數(shù)法[7]、精化直接剛度法[8]等多種。有些方法在數(shù)學(xué)上已有證明，但這些方法的更為完善的證明仍是一個課題，而且其數(shù)學(xué)證明還很難被研究力學(xué)的人們所理解。人們?nèi)员容^普遍以事后的分片試驗來驗證單元的收斂性。盡管當前仍有對分片試驗的討論，但以往的大量實踐說明：通過分片試驗的單元使用起來是令人放心的。通過分片試驗是絕大多數(shù)有限元分析方法的共同點，近期有限元的發(fā)展可以說是以分片試驗為一個主要內(nèi)涵的發(fā)展。

眾所周知，分片試驗是與單元間的位移協(xié)調(diào)性密切相關(guān)的。人們在進行有限元分析時，不可避免的涉及了單元間的協(xié)調(diào)關(guān)系，這種協(xié)調(diào)關(guān)系與兩個單元有關(guān)，文[4][5]采用了單元邊界上的公共的位移插值函數(shù)，文[9]把這種位移插值函數(shù)成為“網(wǎng)線函數(shù)”。正式這種所謂的“網(wǎng)線函數(shù)”的采用，單元間的協(xié)調(diào)問題可以在單元內(nèi)獨立考慮。目前成功解決連續(xù)問題的有限元法均有意或無意地使用了這種網(wǎng)線函數(shù)。本文通過網(wǎng)線函數(shù)給出了分片試驗對應(yīng)變和位移的要求。

目前對各種有限元法分析的方法均是在單元一級上采用變分原理，從而得到單元的應(yīng)變（或應(yīng)力）的，由結(jié)點位移為參數(shù)表達的表達式，再把它們代入最小勢能原理得到剛度陣。各種有限元法在得到應(yīng)變（或應(yīng)力）的做法上不同，好的有限元法得到的應(yīng)變表達式已滿足了通過分片實驗所應(yīng)滿足的條件。

2分片檢驗的要求

因有限元法最終列出的是勢能的方程，因此分片試驗可以看作：在常應(yīng)變情況下，位移的不協(xié)調(diào)部分對勢能無貢獻，在薄板彎曲問題中，可如下表達：

(1)

其中,a：單元域，為位移的不協(xié)調(diào)部分,有：

(2)

為位移，為位移的協(xié)調(diào)部分。

方程(1)可以理解為：在常內(nèi)力情況下，不協(xié)調(diào)位移對應(yīng)變能無貢獻。把(2)式代入方程(1)

(3)

對(3)式中的項應(yīng)用格林公式，并應(yīng)用坐標變換公式：

(4)

其中、分別為位移協(xié)調(diào)部分在單元邊界的法向和切向的導(dǎo)數(shù)，即為文中的網(wǎng)線函數(shù)，、為單元邊界外法線的方向余弦。對含的項再分步積分得：

（>r時）(5)

r表示單元的邊數(shù)，表示結(jié)點的位移參數(shù)。對(3)中的含項也進行分步積分并整理有：

(6)

同樣，對項再分步積分得：

(7)

ai、bi、ci為由各邊的nx與ny組成的參數(shù)，表示位移函數(shù)在結(jié)點處的值。

(4)、(5)、(6)、(7)便是通過分片檢驗所需滿足的方程。

(4)、(5)是從應(yīng)變的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為應(yīng)變約束條件；(6)、(7)是從位移的角度反映了分片試驗對單元的要求，這里稱之為位移約束條件。成熟的有限元法都自覺或不自覺地應(yīng)用了這些條件。

傳統(tǒng)的位移法構(gòu)造的協(xié)調(diào)元自動滿足了上述各式，下面對其它有限元分析方法進行分類分析。

摘要：本文提出分片試驗在有限元法中有著重要的作用，它是近代有限元發(fā)展的一個主要特色。得出分片試驗對位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)的要求，這些要求便是一個好的有限元法所應(yīng)保證的；分析了幾何方程弱形式與分片試驗的關(guān)系，借此分析了雜交元、擬協(xié)調(diào)元如何滿足這些要求，以及在滿足這些要求的同時產(chǎn)生的對其他條件的影響；分析了精化直接剛度法、廣義協(xié)調(diào)元和雙參數(shù)法如何保證分片試驗的滿足；最后作為位移條件的應(yīng)用例子，改進了bciz元。