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《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2014年第十三期

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)推廣意識的策略

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)推廣意識，就是在數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題解決的教學(xué)過程中，以數(shù)學(xué)地認(rèn)識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，教師為學(xué)生設(shè)計并“構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程”，［4］使學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中養(yǎng)成數(shù)學(xué)的推廣意識，掌握數(shù)學(xué)推廣的基本方法和途徑.

1.分析數(shù)學(xué)概念的外延，剖析數(shù)學(xué)概念的推廣歷程中學(xué)期間的不少數(shù)學(xué)概念的前后之間往往具有很強(qiáng)的聯(lián)系性，先前的概念常常是后續(xù)概念的基礎(chǔ)，這是因為隨著學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識的深入，數(shù)學(xué)概念的外延和內(nèi)涵也在不斷的擴(kuò)大，這就是數(shù)學(xué)概念的推廣.因此，在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，一方面我們要讓學(xué)生明白這個概念的產(chǎn)生基于什么樣的知識或者實際背景，它有什么意義，它的產(chǎn)生是為了解決什么問題；另一方面我們更要讓學(xué)生明白這個概念和前面概念的區(qū)別和聯(lián)系，為什么要把這個概念進(jìn)行推廣，以及如何推廣等，通過引導(dǎo)學(xué)生對這些問題的思考和解答，不僅可以讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生或推廣的必要性，以及數(shù)學(xué)概念推廣的邏輯順序，更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)中推廣的含義，還可以讓學(xué)生參與到概念本質(zhì)特征的概括過程中來，幫助學(xué)生自主地建構(gòu)和領(lǐng)悟新的數(shù)學(xué)概念.比如，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪，到了高中要研究指數(shù)函數(shù)，因此，需要將指數(shù)從初中時的整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪.為了幫助學(xué)生對指數(shù)從整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪這一概念的理解，在教學(xué)中，我們可以讓學(xué)生從數(shù)學(xué)推廣的角度去經(jīng)歷指數(shù)概念的推廣歷程：從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪的推廣，需要引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以及把整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而再把有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪（當(dāng)然這里還涉及無理數(shù)指數(shù)冪的情況），同時還要讓學(xué)生清楚有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于實數(shù)指數(shù)冪，這樣在把新的指數(shù)概念納入到了相應(yīng)的指數(shù)概念體系中去的同時，也讓學(xué)生體會到了指數(shù)概念逐步擴(kuò)充和推廣的過程，這個過程為接下來學(xué)習(xí)和研究指數(shù)函數(shù)，以及冪函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，也為對數(shù)的引入及對對數(shù)函數(shù)的研究做好了鋪墊.

2.重視多角度解決問題，探求數(shù)學(xué)命題推廣的本質(zhì)解法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以選擇性地對一些典型的數(shù)學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析、探究，從不同的角度尋求問題的解決辦法，這樣不僅可以開拓學(xué)生的解題思路、加強(qiáng)知識間的橫向聯(lián)系，更重要的是讓學(xué)生體會問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而為問題的多角度解決或數(shù)學(xué)命題的推廣提供幫助。從上面的分析我們可以看到，我們?nèi)裟茏屑?xì)觀察題目的結(jié)構(gòu)特點，聯(lián)想所學(xué)過的知識和方法，多角度思考，多角度探究，就會獲得問題的不同的解決方法，而且借助解法4我們由此得到了更一般的問題的解決方法，因此，這是讓學(xué)生通過一題多解體會數(shù)學(xué)命題推廣方法的一條有效的途徑.

3.觀察數(shù)學(xué)命題的“維數(shù)”，實現(xiàn)數(shù)學(xué)命題從“低維”到“高維”的推廣數(shù)學(xué)命題的“維數(shù)”一般指數(shù)學(xué)命題中的變量個數(shù)，“維數(shù)”還泛指未知數(shù)的個數(shù)、方程的次數(shù)、不等式的次數(shù)、函數(shù)迭代的次數(shù)、數(shù)表的階數(shù)等.利用數(shù)形結(jié)合的方法，我們可以得到結(jié)論：當(dāng)c=2時，函數(shù)y=g（x）有5個零點；當(dāng)c<2時，函數(shù)y=h（x）有9個零點；當(dāng)c>2時，函數(shù)y=h（x）有1個零點.這里的函數(shù)g（x）相當(dāng)于函數(shù)（fx）的2次迭代，那么對于函數(shù)（fx）的n次迭代，結(jié)論會怎么樣呢？結(jié)合例2的數(shù)形結(jié)合的解法，我們有如下的推廣，并可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.在教學(xué)中，如果我們經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生這樣對問題作合理的猜想和適度的拓展，勢必會提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，更重要的是能夠培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)命題的推廣意識，這為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題和提出數(shù)學(xué)問題提供了一個很好的方法.

4.反思同類數(shù)學(xué)問題的異同，關(guān)注數(shù)學(xué)問題的縱（橫）向推廣在高中數(shù)學(xué)的習(xí)題教學(xué)中，我們經(jīng)常會遇到看似不同但內(nèi)在本質(zhì)完全一樣的題目，如果把這些本質(zhì)類似的東西進(jìn)行比較，并加以聯(lián)想就會推導(dǎo)出更廣的甚至一般性的結(jié)果.這種過程不僅是從特殊到一般的一種推理過程，實際上也是一種尋求解題思路，用類比的方法進(jìn)行命題推廣的過程，從推廣的方向看，這種推廣屬于縱向推廣或橫向推廣.這樣的縱向推廣，不僅使學(xué)生領(lǐng)會了解決這一類問題的基本方法，更重要的是，通過推廣，讓學(xué)生體會到了用類比的方法把數(shù)學(xué)命題進(jìn)行推廣的技巧，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.

5.尋求數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，探索數(shù)學(xué)命題推廣的規(guī)律階段性的學(xué)習(xí)后，我們要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、反思、整理所學(xué)的知識和方法，思考在所學(xué)的知識中是否存在某一類問題的規(guī)律、方法并加以運(yùn)用或推廣.如果學(xué)生在做類似的工作時沒有什么頭緒，教師可以先給學(xué)生提出一些思考的方向，拋出一點“餌料”，啟發(fā)學(xué)生由此提出有意義的問題甚至得到一般性的結(jié)論.比如，在上完圓錐曲線的內(nèi)容以后，有一次，筆者在課堂上“無意”中說起解析幾何中的命題的推廣的方法：如果某個命題的結(jié)論在圓中是成立的，那么我們可以考慮對這個結(jié)論作推廣，這個命題在橢圓、雙曲線、拋物線（甚至對于任意的二次曲線）背景下是否成立.例如，我們大家知道，如果一個直角頂點固定的直角三角形內(nèi)接于圓，那么不管這個直角三角形直角邊的位置如何變化，其斜邊一定過一個定點，當(dāng)然這個定點就是圓心.那么對于這個結(jié)論，你能不能進(jìn)行推廣呢？一石激起千層浪，學(xué)生對這個問題的思考和推廣，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了筆者的想象，得到了一系列非常漂亮的結(jié)論，并都得到了證明，筆者把他們的結(jié)論總結(jié)如下.學(xué)生將筆者在課堂上拋出的“餌料”演繹得出神入化，在和學(xué)生的交流中，筆者得知，在得到上述結(jié)論前，他們先是考慮直角三角形的直角頂點在原點的情況（先把曲線推廣為拋物線，因為拋物線是二次曲線中相對簡單的曲線），然后再把直角頂點移到一般的點P（x0，y0）處，也經(jīng)歷了曲線從拋物線到橢圓再到雙曲線的演化過程，但最后有同學(xué)提出來，既然它們都是二次曲線，那么能不能有一個統(tǒng)一的結(jié)論，于是最后的兩個推廣結(jié)論就脫穎而出了.這樣的推廣方式正好體現(xiàn)了從特殊到一般的推廣方法，當(dāng)然其中也用到了類比推廣的方法，通過這樣的推廣，學(xué)生的運(yùn)算能力和歸納猜想能力得到了鍛煉，通過這樣的推廣，其訓(xùn)練效果勝過做幾十道毫無聯(lián)系的解析幾何題目.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)推廣意識應(yīng)注意的幾個問題

當(dāng)然，數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅僅是推廣，但在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的推廣意識，對教師卻是提出了更高的要求，教師除了要具有開闊的數(shù)學(xué)視野、了解與中學(xué)數(shù)學(xué)知識有關(guān)的擴(kuò)展知識和內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想外，還必須要有對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行推廣的基本技能和教學(xué)意識.教師只有站在更高的起點，才能引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)更好的問題，提出有研究價值的問題，才能成為學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推廣的組織者、指導(dǎo)者，使數(shù)學(xué)命題的推廣來得更自然、真實和富有啟發(fā)性.

1.數(shù)學(xué)推廣意識的培養(yǎng)的起點是解題后的回顧著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞說過：“數(shù)學(xué)問題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧.”［5］所謂的回顧，就是解題后的總結(jié)和反思.為了提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，為了培養(yǎng)學(xué)生的推廣意識，在教學(xué)中，我們要有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的總結(jié)和反思：你的解答嚴(yán)密嗎？有沒有重復(fù)和遺漏？這道題還有沒有其他解法？你會變式嗎（甚至于把這道題目變得面目全非）？你會用類比的方法把這道題的結(jié)論推廣嗎？這道題是怎么構(gòu)造出來的，它的背景是什么？對解題思路、解題過程的反思，可以幫助學(xué)生判斷解題過程的正確與否；對解題方法的反思，可以幫助學(xué)生對所用的解題方法進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化，從而拓寬學(xué)生的解題路徑；對數(shù)學(xué)問題的拓展與推廣的反思，可以加深學(xué)生對問題本質(zhì)的理解，提升學(xué)生的思維高度.所以，有人說，數(shù)學(xué)解題后的回顧是通過有限道題目的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題目的一種數(shù)學(xué)機(jī)智，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)命題推廣意識的一條有效的途徑.

2.數(shù)學(xué)推廣意識的培養(yǎng)需要發(fā)揮學(xué)生思維的主動性18世紀(jì)德國物理學(xué)家李希坦伯格曾說：“那些曾經(jīng)使你不得不親自去發(fā)現(xiàn)的東西，會在你腦海里留下一條途徑，一旦有所需要，你就可以重新運(yùn)用它.”［6］因此，學(xué)生學(xué)習(xí)任何東西的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn).在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成主動推廣的意識，比如，教師在對問題進(jìn)行分析和講解以前，可以讓學(xué)生猜猜結(jié)果或猜猜部分結(jié)果，在解完某一個數(shù)學(xué)問題后，要鼓勵和啟發(fā)學(xué)生對命題進(jìn)行推廣.某一個數(shù)學(xué)命題推廣的思想應(yīng)當(dāng)在教師的啟發(fā)下從學(xué)生的腦子里自然地流淌出來，而教師僅僅只應(yīng)起一個產(chǎn)婆的作用.教師的責(zé)任就是激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以及為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，從而喚起學(xué)生對數(shù)學(xué)命題思考和推廣的欲望.

3.數(shù)學(xué)推廣意識的培養(yǎng)是一個潛移默化的過程我們還需要知道培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推廣意識是一個長期的、潛移默化的過程，心理學(xué)研究表明，某一種技能和意識的形成過程是有階段性的，學(xué)生對數(shù)學(xué)命題的推廣意識的領(lǐng)悟也必然要遵循這個規(guī)律.因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推廣意識不能僅僅依賴于一兩節(jié)課，而是要通過長時間的熏陶和積累，我們不能忽略兩個重要的學(xué)習(xí)階段：探索階段和同化階段，因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)時常介紹更多一些帶有挑戰(zhàn)性的題目，一些具有豐富背景并值得深入探索的題目，一些能預(yù)先品味到科學(xué)家工作的題目，并保留一點時間對已完成的解法進(jìn)行一些回顧性的總結(jié)和討論，這對培養(yǎng)學(xué)生的推廣意識無疑是有好處的.

作者：沈新權(quán)顧乙單位：浙江省嘉興市第一中學(xué)RiceUniversity