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《科學(xué)通報(bào)雜志》2015年第Z2期

今年是Einstein發(fā)表廣義相對論(GR)的奠基性論文100周年.在過去的100年中,越來越多的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了GR的正確性.現(xiàn)在,人們普遍認(rèn)為,GR很好地描述了有關(guān)引力的很多現(xiàn)象.不過,GR依然面臨一個(gè)重要問題:它與20世紀(jì)另外一個(gè)極其成功的理論——量子理論——尚無法協(xié)調(diào).換句話說,結(jié)合廣義相對論與量子理論的所謂“量子引力理論”依然沒有圓滿地建立起來.到目前為止,有幾個(gè)“量子引力理論”的候選者,包括弦/M理論、圈量子引力等.每一種理論都有其自身的合理之處,但也都存在著一些問題.

黑洞物理學(xué)是GR的重要組成部分.20世紀(jì)70年代,在Bekenstein和Hawking等人開創(chuàng)性工作的基礎(chǔ)上建立起黑洞熱力學(xué),它為“量子引力理論”的創(chuàng)建提供了一些重要線索.黑洞熵的微觀起源是黑洞熱力學(xué)的一個(gè)核心問題.1996年,Strominger和Vafa率先應(yīng)用弦理論的技巧計(jì)算了極端黑洞的熵,得到了Bekenstein-Hawking面積熵公式.隨后發(fā)現(xiàn),從圈量子引力出發(fā),也可給出黑洞熵的微觀解釋.到目前為止,已經(jīng)有許多方法來解釋黑洞的熵,它們各有自己的假設(shè)和適用范圍,尚無一種方法堪稱完整.孤立視界是穩(wěn)態(tài)黑洞事件視界概念的推廣,它將穩(wěn)態(tài)黑洞推廣到更現(xiàn)實(shí)的情況,在數(shù)學(xué)物理、數(shù)值廣義相對論和量子引力中有許多應(yīng)用.黑洞熱力學(xué)第零定律和第一定律可以很直接地推廣到孤立視界上,應(yīng)用圈量子引力方法亦可對孤立視界的熵提供微觀解釋:視界上的自由度可以用Chern-Simons(CS)理論來描述,于是熵的微觀起源就是視界上CS理論的Hilbert空間的維數(shù).然而,由于CS理論只能定義在奇數(shù)維時(shí)空上,因而這一方案只能用于解釋偶數(shù)維時(shí)空中黑洞的熵.近兩年,又出現(xiàn)兩種密切相關(guān)但又有所不同的解釋黑洞熵的新方案:應(yīng)用邊界BF理論取代邊界CS理論來描述視界上的自由度.同樣作為拓?fù)鋱稣?BF理論的最大優(yōu)點(diǎn)是可以定義在任意維時(shí)空上,從而原則上不會(huì)有維度的限制.這兩方案確實(shí)可以用于處理任意維時(shí)空中無轉(zhuǎn)動(dòng)和有轉(zhuǎn)動(dòng)的孤立視界,也可用于標(biāo)量張量引力理論以及與標(biāo)量場非最小耦合理論中的孤立視界,甚至在做了一定的假設(shè)后可用于Lovelock理論.本文就介紹這兩種新方案.為方便起見,采用的單位制.

1孤立視界

黑洞事件視界(eventhorizon)是一個(gè)非常有用的概念,不過,其定義需要知道整個(gè)時(shí)空的性質(zhì),這在物理上是很不自然的.鑒于此,Ashtakar等人提出了孤立視界(isolatedhorizon)的概念,其最大優(yōu)點(diǎn)在于,定義只需用到局部信息.根據(jù)定義,四維時(shí)空中的孤立視界是一個(gè)3維類光超曲面它的類光法矢la的膨脹l是0,Einstein場方程在的一個(gè)鄰域內(nèi)成立。

2四維時(shí)空中孤立視界的熵

2.1作用量與辛形式考慮一個(gè)以孤立視界為內(nèi)部邊界的時(shí)空區(qū)域,在此區(qū)域上,廣義相對論的Palatini作用量。

2.2SO(1,1)BF理論與系統(tǒng)的量子化一個(gè)純SO(1,1)BF理論的作用量給出場方程是對比方程(15)會(huì)發(fā)現(xiàn),聯(lián)絡(luò)場依然是平坦的,而場卻不再是閉的,時(shí)空上的場01為場提供了源.與純BF理論作用量一樣,在孤立視界上的BF理論的作用量在如下兩類規(guī)范變換下保持不變。

2.3熵的計(jì)算孤立視界的熵來自于整個(gè)量子體系中與內(nèi)邊界自由度(即視界)相關(guān)聯(lián)的部分,而與其他部分的自由度無關(guān).所以需要通過求跡方法把其他自由度去掉,得到一個(gè)密度矩陣,而這個(gè)密度矩陣的vonNeumann熵就是孤立視界的熵.上述計(jì)算說明,對于作用量(6)、辛形式(12)和第一種BF理論量子化的方案,孤立視界熵歸結(jié)為邊界上BF理論的微觀自由度數(shù).對于作用量(13)、辛形式(14)和第二種BF理論量子化的方案,孤立視界的熵則歸結(jié)于引力理論滿足邊界條件的微觀態(tài)在邊界上的自由度數(shù).

3各種推廣

上述方案不僅可以用于解釋廣義相對論在四維時(shí)空中孤立視界熵的統(tǒng)計(jì)起源,還可以用于解釋各種引力理論、各種維數(shù)時(shí)空中的孤立視界熵的統(tǒng)計(jì)起源.以下給出幾個(gè)例子.

3.1高維孤立視界一個(gè)最直接的推廣是高維時(shí)空中的黑洞.盡管現(xiàn)在觀測到的時(shí)空是四維的,但是并不排除在極小尺度上額外維度的存在,或者像“膜世界”這樣的假說.單單從理論上講,研究高維黑洞也是有意義的,比如在四維漸直的時(shí)空中,黑洞的拓?fù)涠际乔蛐蔚?但是在高維,可以存在其他拓?fù)涞暮诙?

3.2Lovelock理論中的孤立視界的熵Lovelock理論[38]是廣義相對論在高維時(shí)空上的一個(gè)自然推廣,其作用量包含高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),但由于作用量的特殊選擇,使得場方程中只包含二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),從而避免了一般高階引力理論中的“幽靈”問題.在D維時(shí)空中,作用量的形式為。在Lovelock理論中也存在黑洞解,黑洞本身也具有溫度和熵,并且滿足熱力學(xué)第一定律.只不過此時(shí)黑洞熵不再滿足面積熵公式,而是遵守更一般的Wald熵公式.黑洞的事件視界也可以推廣為孤立視界,只是定義需要做相應(yīng)的改變.重要的是,孤立視界上的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)是不隨時(shí)間變化的,孤立視界的幾何性質(zhì)不依賴于作用量.所以此前涉及孤立視界性質(zhì)的討論都可以照搬過來.

3.3與標(biāo)量場非最小耦合的理論中孤立視界的熵上面討論的都是純引力理論情況,這一小節(jié)討論引力與物質(zhì)場耦合的情況.當(dāng)這種耦合是最小耦合時(shí),孤立視界的熵仍滿足面積定律,物質(zhì)場沒有額外的貢獻(xiàn).只有當(dāng)物質(zhì)場與引力場非最小耦合時(shí),孤立視界的熵不再滿足面積定律,而是滿足更一般的Wald熵公式.

4總結(jié)與討論

本文利用邊界BF理論來解釋孤立視界熵的微觀起源.從一階作用量出發(fā),兩次變分后可以得到辛流.而由于孤立視界的性質(zhì),SO(1,1)BF理論的辛流通過視界的通量可以表示成通過最后與最初截面的通量之差.而辛流通過任意截面的通量正好是SO(1,1)BF理論的辛形式,所以,孤立視界可以由SO(1,1)BF理論來描述.應(yīng)用邊界BF理論,孤立視界的熵既可以解釋成由邊界上SO(1,1)BF理論的量子態(tài)的自由度數(shù)確定,也可以解釋成由滿足孤立視界給出邊界條件的所有量子態(tài)的邊界自由度數(shù)確定.邊界BF理論方案適用性廣泛,可用于任意維度的廣義相對論,標(biāo)量-張量引力理論以及引力與標(biāo)量場非最小耦合理論.對于Lovelock理論,加上“量子化的通量”假設(shè)以后,同樣可以得到孤立視界的Wald熵公式.

正如前面所指出的,相較邊界CS理論方案,邊界BF理論方案的一個(gè)最大優(yōu)點(diǎn)在于它可以定義在任何維度上.另一大優(yōu)點(diǎn)在于SO(1,1)對稱性存在于所有的孤立視界之中,不管其是否還存在其他的對稱性.于是,可以統(tǒng)一地處理各種孤立視界.本文在計(jì)算熵的過程中,采用的是“通量約束”而非通常的“面積約束”,其優(yōu)越性可從Lovelock引力理論和與標(biāo)量場非最小耦合的引力理論中的孤立視界熵的形式看出.在這兩種理論中,視界的熵都不再與面積成正比,而是滿足一般的Wald熵公式.而Wald熵公式正好可以寫成通量算符積分的形式,也就是說,此時(shí)的熵不是與面積成正比,而是與通量成正比.邊界BF理論方案在解釋黑洞熵方面有著廣泛的應(yīng)用,而另一個(gè)有廣泛應(yīng)用的是共形場論方案.

在邊界BF理論方案中,與孤立視界相關(guān)聯(lián)的整個(gè)時(shí)空幾何全部納入考慮之中,而在共形場論方案中只慮了近視界的2維幾何.前者用的是內(nèi)部SO(1,1)對稱性,而后者則是從微分同胚不變性中挑出2維的共形對稱性.前者在邊界上添加了一個(gè)明確的BF理論,而后者則相當(dāng)于添加一個(gè)共形場論,其具體形式尚不清楚.前者給出的熵公式中包含一個(gè)待定參數(shù),而后者可以精確地給出Bekenstein-Hawking熵公式.前者除了給出Bekenstein-Hawking熵公式以外,還可以給出更一般的Wald熵公式,而后者是否能給出Wald熵公式還有待探討.這兩者之間是否存在某種內(nèi)在的聯(lián)系仍是一個(gè)令人感興趣、值得探索的問題。

作者：黃超光 王晶波 單位：中國科學(xué)院高能物理研究所