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1量子通信網(wǎng)絡的模型

量子信道的建立速率定義為兩個量子通信節(jié)點之間建立量子糾纏對的速率.基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡中節(jié)點具有以下三個功能:遠程傳態(tài)功能、產(chǎn)生并向周圍節(jié)點分發(fā)糾纏粒子功能和糾纏連接功能.其中糾纏連接功能由糾纏交換功能和糾纏純化功能組成[2324],采用糾纏連接,可以為不存在糾纏粒子對的節(jié)點提供糾纏中繼.在該網(wǎng)絡中,距離較近的節(jié)點可直接分發(fā)糾纏粒子,建立量子信道,而相距較遠的節(jié)點不直接分發(fā)高保真度糾纏粒子,需要通過中間節(jié)點依次中繼,建立兩節(jié)點間高保真度的量子信道.量子通信網(wǎng)絡模型如圖1所示.圖1中個節(jié)點以單位密度分布在正方形的二維平面中,分布區(qū)域的正方形面積。整個分布區(qū)域的節(jié)點總數(shù)為,各節(jié)點在空間中隨機分布,假設在不相交區(qū)域中節(jié)點數(shù)目相互獨立,則節(jié)點的分布滿足空間泊松過程.該量子通信網(wǎng)絡有以下特點:1)所有的節(jié)點功能相同,可與相鄰節(jié)點直接通信,也可通過相鄰節(jié)點為中繼與遠處節(jié)點通信;2)量子信息通過量子糾纏對傳輸,但節(jié)點之間不預先存儲量子糾纏對;3)對于相鄰節(jié)點,在通信開始階段,節(jié)點中進行糾纏粒子生成,生成的糾纏粒子傳輸至相鄰節(jié)點,得到高保真度的糾纏對以供量子信息傳輸。4)對于相距較遠的節(jié)點,需要先找到一條可以連接待通信兩節(jié)點的拓撲通路.通過通路上節(jié)點的糾纏連接操作,在遠距離的節(jié)點間得到高保真度的糾纏對.本文分別對該模型下任意兩節(jié)點間的量子信道建立速率進行分析,包括基礎鏈路、中繼長鏈路以及趨于無窮大時大規(guī)模網(wǎng)絡中遠距離兩節(jié)點間的量子信道建立速率.

2量子通信網(wǎng)絡基礎鏈路的信道建立速率

在基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡中,將可以直接通過糾纏粒子分發(fā)建立量子信道的節(jié)點稱為相鄰節(jié)點,相鄰兩節(jié)點間通過糾纏粒子形成的量子通路稱為基礎鏈路.不存在基礎鏈路的節(jié)點之間可以通過中繼節(jié)點之間的基礎鏈路建立量子信道.文獻[25]對基礎鏈路上的信道建立速率進行了分析.基礎鏈路上的一個節(jié)點由于內部糾纏粒子的存儲空間有限,所以節(jié)點產(chǎn)生糾纏粒子對的頻率也受到限制.假設節(jié)點光子產(chǎn)生糾纏粒子操作的頻率為,節(jié)點按成功概率g產(chǎn)生一定保真度的糾纏粒子對,為兩節(jié)點之間的距離,為光速,則相鄰兩節(jié)點之間成功得到一個糾纏光子對的平均時間。

3中繼長鏈路的量子信道建立速率分析

非相鄰兩節(jié)點間如果可以通過中繼節(jié)點建立量子信道,則兩節(jié)點間的量子通路稱為中繼長鏈路.相鄰節(jié)點之間可以直接生成量子糾纏對以傳遞量子信息,但中繼長鏈路上需要各中繼節(jié)點通過糾纏連接,消耗中繼節(jié)點上的量子糾纏對,從而在源節(jié)點和目的節(jié)點之間得到高保真度的量子糾纏對,建立量子信道.圖2為僅有一個中繼節(jié)點的三節(jié)點中繼長鏈路,假設節(jié)點Alice為源節(jié)點,節(jié)點Carol為目的節(jié)點,節(jié)點Bob為中繼節(jié)點,節(jié)點Bob和相鄰節(jié)點Alice,Carol分別共享量子糾纏對A1-B1和B2-C1.該過程中,節(jié)點Bob對位于本節(jié)點的量子比特B1和B2執(zhí)行貝爾基測量,即可得知A1,C1的糾纏狀態(tài).在最大糾纏態(tài)情形下,糾纏連接即形成.在非最大糾纏態(tài)情形下,糾纏連接概率性形成,。由于各基礎鏈路上糾纏粒子生成和糾纏連接操作的順序不同,可以得到不同的量子信道建立方法,不同的量子信道建立方法對應不同的量子信道建立速率.我們對逐點和分段兩種量子信道建立方法所對應的量子信道建立速率進行分析.如圖3所示,假設一條中繼長鏈路由個節(jié)點和1條基礎鏈路所構成,設源節(jié)點編號為1,目的節(jié)點的編號為,鏈路上的節(jié)點和基礎鏈路依次編號.假設節(jié)點1和之間已建立量子信道,節(jié)點和節(jié)點之間也已建立量子信道,對某節(jié)點進行糾纏連接操作,可得建立該量子信道的速率。如圖4所示,逐點量子信道建立方法中各個中繼節(jié)點上的糾纏生成和糾纏連接操作依次進行,其步驟如下:1)生成中繼節(jié)點2與源節(jié)點1之間的糾纏粒子對;2)生成中繼節(jié)點2和下一中繼節(jié)點3之間的糾纏粒子對,中繼節(jié)點2進行糾纏連接,使得源節(jié)點1與中繼節(jié)點3建立量子信道;3)生成中繼節(jié)點3和中繼節(jié)點4之間糾纏粒子對,中繼節(jié)點3進行糾纏連接,使得源節(jié)點1與中繼節(jié)點4建立量子信道;4)逐點進行,最后生成中繼節(jié)點(1)和中繼節(jié)點間糾纏粒子對,中繼節(jié)點(1)進行糾纏連接,建立源節(jié)點1和目的節(jié)點間建立量子信道.逐點量子信道建立方法需要在2個中繼節(jié)點上進行不相互獨立的糾纏連接操作.基礎鏈路的信道建立速率由量子糾纏分發(fā)速率決定.糾纏光子經(jīng)由光纖或自由空間信道傳輸,再經(jīng)過本地操作實現(xiàn)量子糾纏分發(fā),該過程所需時間設為常數(shù)。

4基于逾滲模型的二維量子通信網(wǎng)絡量子信道建立速率

量子通信網(wǎng)絡的模型與傳統(tǒng)通信網(wǎng)絡模型類似,都可建模為個節(jié)點利用傳輸信道進行信息傳遞,所不同之處在于傳統(tǒng)無線通信網(wǎng)絡使用的是傳統(tǒng)無線或者有線信道,而基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡使用的是糾纏粒子構成的量子信道.與經(jīng)典無線通信網(wǎng)絡的網(wǎng)格劃分相似,可采用逾滲模型對整個網(wǎng)絡特性進行分析.逾滲模型證明通過適當?shù)木W(wǎng)絡網(wǎng)格劃分可保證整個網(wǎng)絡的連通性,使得網(wǎng)絡中的任意源節(jié)點和任意目的節(jié)點總可找到一條中繼鏈路相連,整個網(wǎng)絡中將形成高速公路(highway),高速公路可為其他不在高速公路上的節(jié)點提供中繼[16].將圖1中節(jié)點數(shù)目為的量子通信網(wǎng)絡平面劃分為邊長為的正方形網(wǎng)格,若某個網(wǎng)格中至少含有一個節(jié)點,該節(jié)點可為相鄰網(wǎng)格中的節(jié)點提供中繼,則這個網(wǎng)格視為連通的.由單位密度泊松點過程的概率分布規(guī)律,網(wǎng)格中至少含有一個節(jié)點的概率為(si1)=1e2,其中si代表單個網(wǎng)格中的節(jié)點數(shù).網(wǎng)格邊長足夠大時,可保證網(wǎng)格中至少有一個節(jié)點的概率足夠大.當網(wǎng)格連通概率大于二維正方形逾滲的逾滲閾值時,將會出現(xiàn)無限大連通集團,整個量子通信網(wǎng)絡必然是連通的,即網(wǎng)絡中任意兩個節(jié)點間存在直接量子信道或者由多個中繼節(jié)點組成的量子信道.當網(wǎng)格連通概率大于二維正方形逾滲的逾滲閾值時,將在水平方向和垂直方向由連通的網(wǎng)格依次相連形成大規(guī)模的連通鏈路,這種連通鏈路的拓撲結構稱為高速公路.高速公路上分布著大量的中繼節(jié)點,且這些相鄰中繼節(jié)點之間的最遠距離由網(wǎng)格的邊長決定,使得基礎鏈路的長度最長不超過網(wǎng)格對角線長.高速公路存在于網(wǎng)絡水平方向和垂直方向,源節(jié)點找到離自己最近的高速公路入口節(jié)點,然后在水平方向的高速公路找到與目的節(jié)點垂直距離最近的節(jié)點,接著通過該節(jié)點沿著垂直方向的高速公路找到與目的節(jié)點最近的出口節(jié)點.由于高速公路的存在,若源節(jié)點和目的節(jié)點都在高速公路上,則這兩個節(jié)點可直接利用高速公路的中繼作用建立量子信道,若源節(jié)點和目的節(jié)點至少有一個不在高速公路上,則應先找到最近的高速公路入口節(jié)點或出口節(jié)點,再通過高速公路中繼,從而建立量子信道。由此可知,高速公路上的基礎鏈路的量子信道建立速率僅與節(jié)點的量子存儲空間、網(wǎng)格劃分的對角線長度、給定的量子信息保真度有關,與總節(jié)點個數(shù)無關,故相對于為常數(shù)階.不在高速公路上的節(jié)點要先找到離它最近的高速公路節(jié)點作為入口節(jié)點或者出口節(jié)點,源節(jié)點與入口節(jié)點之間以及目的節(jié)點與出口節(jié)點之間存在基礎鏈路,該基礎鏈路的量子信道建立速率與總節(jié)點個數(shù)有關,由于不在高速路的點與最近的高速公路節(jié)點的距離不大于log+22[21],故該基礎鏈路的速率。因此對中繼長鏈路而言,分段量子信道建立方法的量子信道建立速率更高.因此我們對長鏈路上使用分段量子信道建立方法進行分析.根據(jù)源節(jié)點和目的節(jié)點分布不同,可分為以下兩種場景.場景1:若源節(jié)點和目的節(jié)點都在高速公路上,則對于有Ω()個節(jié)點的這條長中繼鏈路,基礎鏈路的最長距離由網(wǎng)格劃分的邊長決定,此時基礎鏈路上的量子信道建立速率為常數(shù)階,源節(jié)點和目的節(jié)點成功得到量子糾纏對的速率。所以當量子通信網(wǎng)絡的節(jié)點都利用逾滲模型所指出的高速公路進行長鏈路的中繼通信,且采用分段量子信道建立方法時,整個量子通信網(wǎng)絡的量子信道建立速率為Ω(1/).由于場景2的量子信道建立速率小于場景1的量子信道建立速率,整個量子信息網(wǎng)絡的量子信道建立速率上限值由兩者的較小值所決定的,故量子通信網(wǎng)絡的量子信道建立速率為Ω(1/).

5結論

本文針對基于糾纏態(tài)的量子通信網(wǎng)絡,提出了量子通信網(wǎng)絡的網(wǎng)絡模型.基于網(wǎng)絡模型,提出了量子信道建立速率概念.根據(jù)鏈路結構的不同,把量子通信網(wǎng)絡中的通信鏈路分為基礎鏈路和中繼長鏈路.在中繼長鏈路上,量子信道建立方法的不同會導致整體鏈路量子信道建立速率有很大的不同.通過對逐點量子信道建立方法的分析,提出了一種應用量子中繼長鏈路的分段量子信道建立方法,得到在逐點方法和分段方法下,對于有個節(jié)點的中繼長鏈路,量子信道建立速率分別為Ω(1/e)和Ω(1/).通過逾滲模型揭示了量子通信網(wǎng)絡的連通性和拓撲結構,得到了中繼長鏈路的節(jié)點總數(shù)和基礎鏈路的最大長度,將分段量子信道建立方法應用到逾滲高速公路拓撲的長鏈路中,對大規(guī)模糾纏態(tài)量子通信網(wǎng)絡中任意兩點間的量子信道建立速率進行分析,推導出個節(jié)點二維量子通信網(wǎng)絡中量子信道建立速率為Ω(1/).

作者：陳鵬蔡有勛蔡曉菲施麗慧余旭濤單位：東南大學,毫米波國家重點實驗室